Mathematik-Olympiade

Schon die bloße Teilnahme an Olympischen Spielen ist eine große Auszeichnung. Noch größer ist die Freude derer, die es auf das Siegertreppchen schaffen und für ihre Leistungen mit einem der drei Siegerplätze belohnt werden. Sie gehören wirklich zu den Besten ihrer Disziplin.

Landesweit nehmen an der Mathematik-Olympiade über 250.000 SchülerInnen der Klassen 3 – 12 teil. Von den TeilnehmerInnen werden besondere Fähigkeiten im logischen Denken, in der Kombinationsfähigkeit und im kreativen Umgang mit mathematischen Methoden gefordert. Der eingeschlagene Lösungsweg ist fehlerfrei in logisch und grammatisch einwandfreien Sätzen darzustellen. Dabei haben es die gestellten Aufgaben wirklich in sich. Um einen Eindruck der Leistung unserer PreisträgerInnen zu vermitteln, folgt hier eine Musteraufgabe für die Olympioniken der Klasse 9 (weiter Aufgaben und die Lösung finden sich unter folgendem Link):
www.mathematik-olympiaden.de

Beispielaufgabe

Wenn man eine nichtnegative ganze Zahl mit sich selbst multipliziert, erhält man eine Quadratzahl.
In einem mathematischen Wettbewerb zwischen den Spielern A und B geht es um das Erreichen von Quadratzahlen. Dazu steht beiden Spielern gemeinsam eine Liste mit den natürlichen Zahlen 1 bis 20 zur Verfügung. Die Startzahl des Spiels ist 210. Beide Spieler ziehen abwechselnd, wobei Spieler A den ersten Zug hat. Er darf sich eine der Zahlen von 1 bis 20 aussuchen und diese von der Startzahl subtrahieren. Wer danach am Zug ist, darf vom bis dahin erreichten Ergebnis wiederum eine der noch nicht verwendeten Zahlen von 1 bis 20 subtrahieren.
Wer mit seiner aktuellen Subtraktion auf eine Quadratzahl kommt, erhält dafür jeweils einen Punkt. Nachdem beide Spieler abwechselnd je 10 Zahlen subtrahiert haben, ist das Spiel zu Ende.

a) Untersuchen Sie, ob der Spieler A „zu null“ gewinnen kann, d. h. ob B null Punkte haben kann.
b) Untersuchen Sie, ob ein Endstand von 7 : 7 Punkten möglich ist.
c) A wettet mit B: „Ich verzichte darauf, im ersten Zug die Quadratzahl 196 einzunehmen. Trotzdem wirst du weder die Quadratzahl 196 noch die Quadratzahl 169 einnehmen können.“
Untersuchen Sie, ob A diese Wette bei intelligentem Spiel von B gewinnen kann.